#01
李文林教授写的部分序言
喜见吴正宪老师和她的团队又推出新作《小学数学教学基本概念解读),看后感触颇多。
这是一本高观点下的小学数学教学专著。书中梳理了小学数学中出现的几乎所有基本概念,对每一个概念首先按现代数学和小学数学两个层面做出界定;接着进行详尽的解读一--阐释相关数学概念的内涵及数学实质,介绍其缘起背景、来龙去脉,展示其应用领域;最后落脚于小学数学教学的实处,对相关数学概念给出具体的教学建议,其中包括大量具有示范意义的教学实践案例。
这是一本为小学数学老师答疑解难的教学工具书。
这是一个高水平的小学数学教师团队的倾力之作。
“工欲善其事,必先利其器"!本书正是帮助广大小学数学老师“善事“。
出版社：教育科学出版社
出版时间：2014年9月
#02
作者前言部分话语
吴正宪老师写的前言部分话语，《小学数学教学基本概念解读》一书的撰写过程就是我们团队学习和研究的过程。书中我们对小学数学的核心概念分四个内容领域,即数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”进行了阐述。任何一个概念的产生都有它独特的价值,并伴随着曲折的形成过程,且在其中隐含了丰富的数学思想与方法。在对每一个概念的具体解释中,我们不仅分别给出现代数学和小学数学的定义,还尽可能地配有教学案例加以说明。可以说,这是一本专业性较强的教学指导用书,也是一本实用性较强的教师工具书,对丰富小学数学教师的专业知识、提升教师的专业素养,具有一定的帮助。
#03
内容简介
《小学数学教学基本概念解读》一书重点核心概念分四个内容领域,即“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”进行了阐述。
本书包括了两大部分：第一部分是小学数学核心概念和数学思想。2011版《课标》中的十个核心概念：数感，符号意识，空间观念，几何直观，数据分析观念，运算能力，推理能力，模型思想，应用意识，创新意识。小学数学中常见的数学思想：数学抽象的思想有抽象思想、分类思想、集合思想、数形结合思想、对应思想、符号表示思想。数学推理的思想有数学化归思想、类比思想、极限思想、代换思想、假设思想。数学建模的思想有函数思想。
第二部分是小学数学的四个领域，其中介绍“数与代数”的教学内容是逐渐扩充的,由自然数到分数、小数,由数的运算到简单的代数式及其运算,由算术运算到代数运算。从内容多少上看,它在小学数学教学各领域内容中所占比例最大;从作用上看,它直接关系到其他内容的学习,是整个数学学习的基础。
数的认识、数的运算和探索规律,贯穿第一、二学段;常见的量的学习则主要集中在第一学段。这部分的“数与代数”内容比较重视数的现实意义,强调紧密联系学生身边具体、有趣的事物,使学生体会数用来表示和交流的作用;注重使学生通过观察、操作、解决问题等丰富的活动初步建立数感;重视口算、估算与笔算的结合;重视结合现实的问题认识常见的量;强调初步学习在简单情境下探索数量方面的规律。第二学段在第一学段的基础上,继续学习相关的内容,即在学习数的认识和运算的基础上,进一步学习式与方程(代数的初步)、正比例和反比例(函数的渗透)。随着年龄的增长,学生的思维水平和理解能力有所提高,学生处在由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段。由此在第一学段的基础上,第二学段扩大了数的认识和运算的范围,同时在较为抽象的水平上让学生初步认识代数知识和渗透函数思想。
#04
导赏1
数感一感：
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于理解生活中数的意义、理解具体情境中的数量关系。数感是数字、是位值（位次感和大小感）、是计数单位、是数级……
数数中培养数感；估计中抽象数感；操作中体验数感；计算中精准数感。
其中，数数是建立数感最直接的路径！例如：“点数”中蕴涵“一一对应”思想；“数数”中渗透“有序思维”；在数轴中数数，体现数形结合思想，包含运算含义，往前数即加法、往后数即减法、几个几个往前数就是乘、几个几个往后数就是除法，能够数到“0”即为“整除”，不能数到“0”即为“有余数除法”，这就是四则运算最初的含义！
借助身边的数学素材、激活学生的生活经验、创设数学问题情境、突出数概念的本质、理解数的意义、建立良好的数感！
数感二感：
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于理解生活中数的意义、理解具体情境中的数量关系。数感是数字、是位值（位次感和大小感）、是计数单位、是数级……
数数中培养数感；估计中抽象数感；操作中体验数感；计算中精准数感。
其中，数数是建立数感最直接的路径！例如：“点数”中蕴涵“一一对应”思想；“数数”中渗透“有序思维”；在数轴中数数，体现数形结合思想，包含运算含义，往前数即加法、往后数即减法、几个几个往前数就是乘、几个几个往后数就是除法，能够数到“0”即为“整除”，不能数到“0”即为“有余数除法”，这就是四则运算最初的含义！
借助身边的数学素材、激活学生的生活经验、创设数学问题情境、突出数概念的本质、理解数的意义、建立良好的数感！
数感三感:
数概念的上位
1.自然数的产生。最初人类没有数概念，是在人类的生活生产实践中逐渐形成的。如：一和多、一一对应、多与少、同样多、等价集合类、标准集合，即一切等价有限集合共同特征的标记！
2.事物的量、数量和数。数量是对现实世界中与量有关的事物的量的一种抽象，一般表达：数字+后缀名词；具有实际背景、关于量的多少的表达。但数量还不能作为数学研究对象，数学的研究对象应当是比数量更为一般的抽象。为了实现更一般的抽象，就必须把握数量的本质，数量的本质表现在数量的关系之中。数量关系的本质就是多与少，抽象到数学内部就是数的大与小。数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
点数计数——按群计数（计数单位的叠加）——推理计数——想象计数#05
导赏2
推理能力
现代数学:推理是形式逻辑术语,是一种重要的思维形式,即由个或几个已知命题推出一个新命题的思维形式。作为推理中所根据的干命题称为前提,根据前提得出的结果称为结论。例如
①平行四边形对边相等,所以,有一组对边不相等的四边形不是平行四边形。
②四边形四个内角和为360°,平行四边形是四边形,所以,平行四边形内角和为360°
上面两个例子都是推理。在“所以”前面的命题(判断)都是前提,在“所以”后面的命题(判断)是结论。推理形式是由作为前提的命题形式逐步得到作为结论的命题形式过程中的每一步。形式逻辑不研究推理的具体内容,而只研究怎样的推理形式才有效,即推理的合理性。研究作为前提的命题形式与作为结论的命题形式之间逻辑联系的性质及规律性。推理是由已知寻求未知的一种方法,也是证明的工具。
小学数学:小学数学教材并没有明确给出推理的定义。不同版本的教材在不同领域都涉及了丰富的有关推理的教学内容,以突出推理的重要价值。如很多教材安排的“你是怎么想的?“为什么会是这样的?“你和他的想法一样吗?还有不同的方法吗?”这些内容,非常明显地在鼓励学生进行推理。教师则要充分地让学生交流,以培养学生的推理能力。
概念解读
推理的价值:推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容,也是数学课程和课堂教学的重要目标。推理能力的发展应该贯穿于整个数学学习过程中推理的分类:一般包括演绎推理和合情推理两种。
演绎推理:从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算,得到某个具体结论的推理。它的思维进程是从一般到特殊。
合情推理:数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。它是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳、类比等推断某些结果,是一种合乎情理、好像为真的推理。
数学中,合情推理是多种多样的,其中归纳推理和类比推理是两种用途最广的特殊合情推理。法国数学家拉普拉斯说:“甚至在数学里,发现真理的工具也是归纳和类比。”
归纳推理:以个别(或特殊)的知识为前提,推出一般性知识为结论的推理。它的思维进程是从特殊到一般。它具体可以分为:完全归纳推理和不完全归纳推理。如“商不变的性质”,就是从几个具体的除法计算所反映的共同特点推出一般性结论的,从而做出形式归纳:在除法里,被除数和除数都乘或除以同一个数(0除外),商不变。
类比推理:由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似,推出它们的另一属性也相同或相似的一种推理。它是从特殊到特殊的推理,如除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质之间的类比。
推理与证明:推理与证明是数学的基础。能进行推理是理解数学的关键,数学证明则是一种表达特定推理过程的严谨的方法。数学推理与证明为人们探索和表达不同现象的内在关系,提供了行之有效的方法。#06
导赏3
几何直观，小学生处于思维的发展时期，直观表达很重要，直观表达是为了抽象，用好直观为了数学的更好理解。
几何直观
现代数学:借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知,即可称为“几何直观”。徐利治语
小学数学:小学数学教材中虽没有出现“几何直观”的定义,但小学数学诸多问题的呈现、分析等过程充分体现了“几何直观”的含义,以及它的作用和价值。例如,分数的理解对于小学生已经比较困难,分数的运算就更难了。然而,结合图形就变得容易多了。比如1/2×1/4直观表达，先分再取，再分再取，分了又分，取了又取。
正如2011版《课标》所阐释的:几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
几何直观到底是什么呢？
(1)几何直观是理解数学的重要方法
史宁中教授在《数学思想概论(第1辑)》有关复数的几何表示中提到“当给出了复数的几何解释后,人们才真正感受到了复数的存在,才逐渐接受了复数”,并做批注:“人们在阐述数学问题时,总是千方百计地给出几何解释,这便是几何直观。”
2011版《课标》解读指出:几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。
数学的直观解释有利于人们对数学的认识和理解。数学的发展过程表明,抽象的数学结论往往总能找到相对直观的表征和解释;很多重要的数学内容、概念,都有“双重性 既有“数的特征”,也有“形的特征”。例如正比例关系,既可以用数与式的形式y/x=k表示,也可以用笛卡儿坐标系中的直线来表示。只有从两个方面认识它们,才能很好地理解它们,掌握它们的本质意义。
(2)几何直观是解决数学问题的重要方法
在几何直观中,几何指图形。因此,几何直观的核心内容是“图形与几何”领域的教学。这一领域的教学不仅要培养学生的逻辑推理能力,还要培养学生的几何直观能力。不仅如此,几何直观在表征和解决其他数学领域中的问题和现实世界中的问题时也发挥着重要作用,如数概念、数运算的直观理解,直方图、分布图对数据信息的形象比较,坐标系对几何与代数的综合反映等。所以,几何直观可以帮助学生直观地理解数学,它在整个数学学习过程中都发挥着重要作用,同时几何直观的培养还应融合于数与代数、统计与概率、综合与实践等领域的教学。#07
个人想法
这是一本小学数学教师的工具书，如果在教学过程中有什么疑惑，可以拿来查一查，因为此书是很有价值的答疑解惑的工具书，是一个高水平小学数学教师团队的倾力之作。通过这样对小学数学中出现的一些基本概念进行生动详细的解读,并且配以一些教学案例加以说明,可以让我们更容易的理解概念,解决教学中的一些困惑。
#08
相信读完此书，是不是有些展望？
一.了解知识产生的背景
在教学中遇到新知识、新符号、新公式等,老师要给孩子们介绍每个知识都有它产生的背景、演变及生活中的应用,让孩子们真正体会到数学源于生活,又应用于生活。只有学生真正认识了数学知识的发生、发展过程和内涵。才能真正会用,从而逐步提高他们的应用意识。
二.重引导学生亲身体验
在小学;学生的思维大都以具体形象思维为主,他们亲身经历的、亲眼看到的、直观的、形象的材料,有利于其学习的进行。因此在教学过程中,老师要多给学生提供动手操作的机会,在做做、想一想、说一说等过程中,让学生多种感官参与活动,多方面获取信息,促进学生主动思考和创新意识。创新意识不是教出来的,而是做出来的,是学生在各个学习环节中不断亲身经历、不断锻炼、不断积累中形成的。比如在低年级的教学中,我们可以经常性的追问学生“你是怎么想的?为什么你认为他的答案是正确的?还有不同的方法吗?”长此以往,可以培养学生的问题意识,从而逐步提升学生的创新意识。
三、掌握知识在每个学段的联系及深度
现在知识的学习是一个逐渐过渡的过程,有些知识会在多个学段出现,但是仔细分析过教材,我们会发现同一个知识在每一个学段都有不同程度的联系,对学生的要求也各不相同,为了能够很好的承上启下,也为了避免出现知识渗透不到位或无意提高对学生的要求,都会对学生的学习带来困扰。那么作为老师平时工作中,要对知识在每个学段的联系及要求掌握的深度及广度做到心中有数,这本书就给我们提供了很好的参考。仔细拜读后,就会很好的把握教学分寸。帮助孩子们顺利的学好数学的每个知识。
四、重视“综合与实践”的教学
“综合与实践”是让学生积累数学活动经验和培养学生的应用意识，创新意识及模型思想的有效载体。它可以让学生在学习的过程中接触到一些有研究和探索价值的内容，在探索问题的活动中，初步了解研究问题的方法，学会与同伴合作交流，学会独立思考，并从中积累丰富的数学活动经验。
“综合与实践”的教学，一是是要重实践，二是要重综合。要让学生自主参与，全过程参与实践活动，要给学生提供充分的探索问题的时间和空间，让学生通过观察，实验，猜测，计算，推理，验证等活动，综合运用已有的知识和经验去解决问题，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的自信心。
“综合与实践”的内容要突出挑战性，开放性，综合性和趣味性，注重数学与生活实际，数学与其他学科，数学内部知识的联系和综合应用。
在活动中，教师应注重数学思想方法的渗透，注重让学生展开思考的过程，关注学生的发展，激发学生创造的潜能，培养学生科学的研究态度和方法，形成一种生动活泼、和谐愉悦的活动氛围。
总之,数学概念的准确把握是提高数学教学质量的重要因素。要提高教学质量,教师就需要貝较高的专业素养和丰富的学科知识储备。俗话说“工欲善其事,必先利其器”,这本书正是帮助我们小学数学老师实施良好的数学教育的利器。
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