小学数学论文写作——草根坛（63）《​从教材的视角审视数形结合的内隐价值》（陈永畅 赖允珏）

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       4月8日早上，坐在公交车上，翻阅刚收到的《小学数学教与学》目录，惊喜地发现了永畅老师的文章，即刻拍照发给他。由于版面所限，该文未能全文刊用，于是请梁海老师和永畅联系，要了全文在“小学数学教研“群分享，同时请枢礼老师在“小学数学论文写作”公众号推送。祝贺永畅！也希望有更多的老师像永畅一样，将自己的实践探索成果化。（广东省教育研究院 鲍银霞）

从教材的视角审视数形结合的内隐价值

--以数线图、点子图和矩形图在数与代数中的应用为例

深圳市宝安区海城小学  陈永畅 赖允珏

摘要

数形结合作为重要的思想方法，如何在小学阶段进行渗透呢？笔者以数线图、点子图和矩形图在数与代数领域的应用为例，通过梳理了一至六年级的教学内容中的数据，厘清“三图”与数学知识、数学能力之间的对应关系，分析“三图”在教材中的呈现形式具有由具象到抽象、由理解到应用的规律，发现“三图”数形结合教学具有发展几何直观、发展数感、提高运算能力等内隐价值。故，在教学实施中，教师要理解“数”与“形”的辩证关系，教学脚手架要符合学生学习特征的基本诉求，注重“数形结合”思想方法的渗透。

关键词：数形结合、内隐价值、数线图、点子图、矩形图

一、“三图”在教材中的内容分析

（一）“三图”整体分布情况

笔者通过梳理北师大版小学数学教材中“三图”出现的课时数（详见表1）进行分析，不难发现：

可列出典型的“三图”案例？

1.数线图贯穿整个小学六年级的教材中，是学生理解知识本质，呈现思考过程与解决问题的常用工具。从整体来看，数线图出现的课时数最多，12册教材中共出在73节课时中出现，占“三图”总次数的67.59%。从年段分布来看，数线图呈现随年段升高而次数降低的现象：低年段（一、二年级）总计出现48节，占总数的60.28%；中年段（三四年级）总计出现23节，占总数的31.51%；高年段总计出现6节，占总数的8.22%。

2.点子图出现次数少，但分布集中，主要出现在二三年级教材中。点子图一共在15节课中出现，而其中10节课分布在二年级，占总数的66.67%，另4节课出现在三年级（26.67%），1节课出现在四年级（6.67%）。这与点子图所适合的数学知识点有密切的关系。

3.矩形图出现次数少，且分布较为均匀。矩形图一共在20节课中出现，主要分布在三（4节）、四（8节）、五（6节）年级，其分布特点也与适合的数学知识点密切联系。

（二）“三图”知识分布梳理

1.数线图：分布广泛，聚焦运算

数线图是小学阶段应用最广，出现次数最多且贯穿一至六年级的数学图形。从数与代数的内容结构来看（详见表2），数线图在数的运算板块出现次数最多，占总数的73.97%，主要是用于帮助学生掌握加法、减法的运算，理解乘法和除法的含义，根据线段图找到数量关系等。其次是数的认识板块，在16节课中出现，占总数的21.92%，教材意图借助数线帮助学生认识数的构成，学会比较数的大小，学会在数线上找到数的大概位置。最后还有3次出现在常见的量板块中，2节是二年级的《时、分、秒的认识》，学会借助数线进行时间单位换算和计算经过时间。还有1节在六年级《比例尺》一课中。

由此可见，数线图在小学阶段是帮助学生理解算理，掌握算法的不可或缺的工具之一。表3为数线图在加、减、乘、除以及数量关系五大知识点中的分布频率。数线图在找数量关系中出现的次数最多（33.33%），任何数字都能在数线中找到它的位值，任何复杂的关系都能用线段图直观地表示，数线图不仅是学生理解概念地工具，更是学生解决问题地工具，教材在《里程表》、《分数混合运算》、《百分数的应用》等单元中特别重视数线图的引入，在数形结合中发展学生画图解决问题的能力。

其次是加法（24.07%）与乘法（22.22%）。线段具有累加性，能够很好地帮助学生理解加法的含义结合线段图也能进一步培养学生数的拆、合能力，进一步发展数感。同样，乘法是特殊的加法，利用线段图能够帮助学生理解乘法，建构乘法与加法之间的联系。在乘法教学中常用线段图帮助学生记忆6—9的乘法口诀，同时渗透乘法分配律。

最后是减法（14.81%）与除法（5.56%），分别作为加法与乘法的逆运算，数线图同样在理解与运算上能发挥一定的作用。例如，在减法中，能帮助学生理解减法是从整体中去掉一部分，或者两数相比的差；在除法中，能实现对平均分与除法概念的理解。

2.点子图：聚焦乘法，理解算理

点子图常见于乘法教学中，特别是乘法口诀教学中，经历了“圈点子-建联系-说口诀-写算式”这样一个过程。二年级第一次出现点子图让学生在点子图上圈一圈，用两种方式表示3×8，教材的意图是借助点子图帮助学生理解乘法的意义。接下来，在“圈、数、说”的活动中建立点子图与乘法口诀之间的联系，让学生在脑海中实现数与形的初步结合。在探索“6-9”的乘法口诀中，借助点子图理解“分块”求积，渗透乘法分配律。

此外，在三年级学习整数乘法中，点子图也是沟通口算与笔试，实现算理理解的好工具。例如，在学习两位数乘一位数的口算乘法中，让学生直观地感受先拆再合，再与竖式建立联系，探索最优地口算方法。在二年级的基础上进一步理解乘法。

3.矩形图：理解概念，建立联系

矩形图是小学理解分数、小数与百分数的直观模型，也是探索它们性质与联系的可见支架。

由表4可知，矩形图主要应用在小数、分数知识内容中。在数的理解中，分数与小数出现矩形图各有3节课。学生初步认识分数是通过“折一折”、“涂一涂”的数学活动展开的，矩形图就是主要的操作工具。而学生初步认识小数则是从“元角分”模型开始的，到五年级进一步认识小数单位，探索小数的性质等才开始使用矩形图。在数的运算中，分数6节课（30%），小数5节课（25%）。分数板块通过矩形图探索加、减、乘、除运算，小数板块则聚焦在加减法。在数的联系中，1节课用矩形图沟通分数与小数的联系，让学生感知小数是十进分数的另一种表现形式；2节课用矩形图沟通百分数与小数、分数的联系；借助图形建构数之间的关系。

（三）“三图”呈现形式分析

教材在不同年段、不同内容中呈现“三图”也有一定的意图，本位将从外在的形式与内在的目的两方面进行分析。

1. 外在形式：由具象到抽象

“三图”的呈现形式经历了从具象到抽象的过渡，这与学生的认知发展水平密切相关。

以数线图为例，（见图1）一年级上册的数线图以毛毛虫的形式呈现，将数字写在毛毛虫一节一节的身体上，将抽象的运算具象化，符合一年级学生具象的认知特点，把相对抽象、无聊的知识变得具体、有趣。直到一年级下册探索“十几减几的退位减法”时，数线图才从“毛毛虫”过渡到“尺子”，一来尺子是学生日常能够接触到的学习工具，增强对尺子的熟悉度，为二年级的学习奠定基础；二来尺子比毛毛虫更具抽象性，突出了“数”。在二年级上册学生探索乘法口诀时，“数线尺”过渡成“等距数线图”，帮助学生理解乘法是几个相同加数的和的运算，与一年级的数线图相比抽象性有进一步提高。二年级下册学习三位数加减法时，教材呈现了无刻度的数线图，以帮助学生理解算理，培养口算能力，但画图难度相对提高，学生在画整百、整十以及个位数的长短的过程中，也能培养学生对数的大小的感知，发展学生的数感。教材在三年级《里程表》一课中也呈现了两种不同的画图方式，体现了由具体到抽象的发展，直到四年级出现最为抽象的数线图。

同样，点子图在乘法口诀以及两位数乘一位数的口算乘法中也是先以具体的实物矩阵呈现，再过渡到抽象的点子图；矩形图在分数的理解中也是现以各种图形的形式出现，再过渡到抽象的面积模型。

2. 内在目的：由理解到应用

从教材编写意图进行分析，不难发现“三图”在教材中发挥的作用经历了从理解到应用的过渡。

以点子图为例，乘法口诀的学习不应局限于背诵与记忆，而要让学生理解乘法的含义，并能根据已知的口诀推导出未知的口诀。借助几何直观就能帮助学生理解每个乘法口诀的含义，并且建立新口诀与已经学过的口诀之间的联系。笔者对二年级上册点子图出现的意图进行分析（见图2）：学生第一次接触真正意义上的点子图是在《有多少点子》一课中，通过在点子图上摆一摆，感受一个乘法算式所对应的两种不同的加法含义，建立乘法与加法之间的联系。第二个理解层次出现在探索6的乘法口诀中，学生借助点子图完成口诀，并在图、算式、口诀三者的对应中理解每一句口诀的由来。第三个理解层次在本课下一个环节，通过对点子图的拆分，建立新旧口诀之间的联系，同时渗透乘法分配律。接下来过渡到应用层面，从有提示的在点子图中圈一圈并写出对应口诀，到后面无提示直接写出对应的乘法口诀。教材中点子图的每一次出现都有其内在目的，而其发挥的作用也在循序渐进的引导学生从概念的理解走向概念的建构，再到概念的应用。不难发现，点子图与矩形图的内在目的也经历了同样的过程。

二、“三图”在教学中的内隐价值

（一）在数形结合中发展几何直观

新课标（2011版）将几何直观定义为: “几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”可见，几何直观是沟通感性与理性的桥梁，更是认知由具体走向抽象的脚手架。小学阶段几何直观的培养倾向于“看懂”图的意思，会用简单的图表示数量关系。正如史宁中教授所言：“数学的结论是‘看’出来的，不是‘证’出来的”。会看图、会释图、会画图就是孩子几何直观的现实表现，数形结合就是学生走向几何直观的最好抓手。

1.在概念形成中，加强理解。

数学概念、结论是抽象的，如何帮助学生从机械的记忆过渡到意义的理解就需要借助直观图形。例如，在《分一分（一）》中，学生第一次学习分数，可能有些孩子能脱口而出一些分数，但是它们脑海中并未形成与之对应的图像，孩子们并不理解分数的真正含义。利用面积模型，学生通过“涂”、“折”等活动，从视觉与触觉通道积累对分数的感性经验，实现图与数的对应，初步加强对概念的理解。并在试一试中呈现多种不同的面积模型，感受分数的相对性，即只要涂色部分的面积是整个图形面积的即可。

2.在概念建构中，深化联系。

数学概念之间有内在的联系，教学中不仅要走向理解，更要实现关联，让学生在脑海中建构起完整的知识网络。例如，分数、小数、百分数之间并非相互独立，而是互相交叉的。如何实现三种不同形式的数之间的转换，就需要借助数形结合。以《“分数王国”与“小数王国”》为例，教材借助面积模型引导学生比较0.06和1/20的大小。（见图4）用直观的方法学会分数与小数的转换，建立分数与小数䣌联系。

3.在概念应用中，掌握方法。

数学的学习要走向应用，在问题解决中，鼓励孩子画图，用图形表达数学问题，能加深学生对本质的理解，从而找到解决问题的方法。例如，在《分数的混合运算》中（见图5），教材特别重视学生在画图能力的培养：用图形表达数学问题，在图形中发现数量关系，在图形中找到解决方法，用图形表示问题结果。

 （二）在数形结合中发展数感

新课标（2011版）将数感定义为：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”数源于数，而数的对象来源于现实生活，因此数感的发展离不开数与物的对应。

1.利用数形结合感受数量对应。

低段学生常借助实物模型来感受百以内的数量，在四年级《认识更大的数》中，教材用数线帮助学生直观地体会大数的顺序和大小关系，以及帮助认识近似数，提升学生对数认识的抽象思维能力。

2.利用数形结合学会比较大小。

学生对大小的感知是从量（直观的感受）开始的，如果直接告诉学生谁大谁小，学生很难理解。对于小数、分数这样更加抽象的数的比较可以借助直观图形。以《比大小》一课为例，直接告知学生：“分母相同，分子大的数更大，分子小的数更小”，学生可能会比较难理解其原因。教材借助面积模型，让学生通过涂色活动，将数的比较与涂色大小的比较联系起来，直观地感受与掌握简单的分数比较的方法。

3.利用数形结合掌握估算方法。

“估算是根据具体条件及有关知识对事物的数量或算式的结果作出的大概推断或估计，估算是计算能力的重要组成部分。估算贯穿小学一年级至六年级的学习中，估算的意义与价值在于发展学生的数感。在《比一比》一课中，通过在数线图上标出3200大概的位置，能够考察学生对百、千计数单位之间关系的理解。淘气表达的先取中间，再找3200也为学生估算提供了另一种方法。

（三）在数形结合中提高运算能力

新课标（2011版）将运算能力定义为：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”准确性是运算的基本，此外，教学中还需关注算法的多样化与最优化。

1.在数形结合中体现运算的多样化。

数线图是探索加减法的直观工具之一，学生利用数线图能够探索多种的运算方法。以《捉迷藏》为例（见图9），一年级学生认知发展水平存在个体差异，在探索13-8=？时，有的孩子习惯一个一个减，有的孩子能够一次减8，有的孩子则会先减到10，再减余下的数。三种不同的运算方法体现了孩子不同的思维发展水平，但都具有合理性。学生在掌握不同算法之后，便能根据数量选择合适的方法进行计算，发展运算的灵活性。

2.在数形结合中发展运算的最优化。

点子图是两、三位数乘一位数乘法的工具，学生要会利用点子图探索算法，理解算理，在体验算法多样化的基础上选择最优的算法进行运算，提高运算的灵活性与简洁性。以《蚂蚁做操》为例，学生自主在点子图上圈一圈，算一算，不同的方法只要合理即可。教学需要在此基础上往深再走一步：“哪中方法运算起来最简便”？学生在观察、交流中不难发现第三种圈算方法，不仅计算最简便，还有利于理解乘法竖式的算理，这就是多种方法中最优的一种。

三、“三图”在教材中的实践启示

（一）“数”与“形”的辩证关系

数与形虽然分别归属于两个不同知识板块，但从教材的内容安排和教学实践中我们不难发现，数与形是一个密不可分的统一体，两者相辅相成，相互作用。著名数学家华罗庚先生就曾写出“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”的诗句，这也说明数与形间那种不可意会的特殊关系。

1．数形一一对应

数产生于“数”，而“数”则是需要借助相应的实物或图形来达成，因此只有当数与形一一对应起来，将抽象的数学语言与形象的图形表征结合起来，才真正地实现抽象概念与具体形象发生链接、产生转化，从而化难为易、化繁为简、化抽象为直观。例如二年级上册《有多少块糖》这一课，是乘法的意义的初始课，课中出示了一幅排列整齐的糖果图（如图11），将其进一步抽象就是一个点子图，如此一来学生通过数（shǔ）点的过程产生加法或乘法，使得乘法与数（shǔ）点对应起来，一是可以让学生明白加法与乘法间的关系，此外对于乘法的意义“表示几个几是多少”有更深刻的理解，从而再辨析3个5或5个3的关系就有据可依了。

这样的例子多不胜数，例如数的学习中，我们常常看到用到了小棒、计数器及点子图等直观地图形或实物，就是为了让数与形一一对应起来，借形译数，从而提供了更适合儿童学习的素材。

2．数形相互联系

数与形在一一对应的基础上，通过数的抽象与形的具体之间建立起潜移默化的联结，发生链接，建构相互间的关系，从而促进学生更加深刻的理解知识本质和挖掘知识的内涵。例如探究“等底等高的平行四边形面积相等”这一结论，如果能借助下图（如图12）来进行解构，便能更加直观地得到一般化的结论，（对S=a×h的直观表达，平行四边形的形状变了，底和高没有变。相反当周长不变是，高如果 变了，面积就会改变）还可以进行举一反三，即可以从图中分析出这个结论的内涵，也能从结论中抽象出一般化的图形，这就是数形结合的最大作用，数与形间能相互影响、相互作用。

再如我们竖式计算中，常常用到点子图和矩形图辅助理解竖式计算每一步的意义，这些图都与运算存在着密不可分的关系，而学生借助这些图又更能深刻理解乘法的意义与内涵。除法计算时，我们又常常需要让学生把分实物抽象成分图形，这又是从形象到抽象饿过程，更是符号化和数学化的过程，因此我们不难发现，其实数与形总是存在我们数学学习中，只是表现得形式不一样，但是却始终保持数与形相互联系的点上。

    （二）符合学生学习特征的基本诉求

数形结合就是学生在数学学习中的重点已毋庸置疑，而小学生，特别是低年段的学生的认知，是从形象到抽象、低阶到高级的一个发展过程。此外，小学生的思维以形象思维为主，哪些抽象的数量关系只有通过直观、形象的图形表征，才能更适合学生学习，才能化隐为显、化难为易。例如，在高年段中我们常会遇到这样的题目“1/2+1/4+1/8+1/16+…=?”如果要让学生通过计算来理解无限加下去的结果就是“1”，可能学生没有办法理解，但是如果能接着面积模型（如图13）进行解释，学生可能会恍然大悟。

这样一个面积模型将无限的计算直观地表达出来，再无限的加下去也就是这个正方形的面积，也就是单位“1”，因此这样对于六年级的学生来说是可以接受的，也是符合他们的学习特征的，更是他们学习方式上的诉求，即变繁为简、变抽象为直观。

（三）“数形结合”是小学阶段重要的思想方法

一至六年级十二册书中近500节新课时，单纯在数与代数领域“三图”与数的结合使用就有108节，而且还有其他领域中涉及到数形结合的案例也有很多，因此从数量占比来看都足以说明它的重要性。此外，从教材编排上来看，数与形的内容是没有被人为割裂的，而是交替出现，且螺旋上升的，这也就说明教材本身就提供了很多的数形结合的教学契机，并为学生的学习提供了思维发展的保障，这同样证明数形结合在小学数学的地位和重要性。

小学数学教材将数形结合思想贯穿于整个数学体系中，通过以上“三图”在数与代数领域的具体应用的分析不难发现其内隐价值可能超出我们教师的预设，但也给予了我们惊醒，作为教师一定要把数形结合的教学放在重中之重，因此它不仅提升了教师的教材解读能力、单元整体设计能力，更主要是让学生在探索数学奥秘的过程中发展了思维和提升了素养。

本

文发表于《小学教学(数学版)》2021年第12期，被人大复印报刊资料《小学数学教与学》2022年第3期全文转载。

作者简介

陈永畅

深圳市宝安区海城小学党支部副书记兼课程与师资发展中心主任，南粤优秀教师，广东省“百千万人才培养工程”名师培养对象，深圳市骨干教师，广东省王栋昌名师工作室核心成员，深圳市教科研专家朱利霞工作室成员，宝安区未来教育家培养工程协作团队成员，宝安区教科研专家（名师系列），宝安区兼职小学数学教研员。教学课例、论文曾获得国家级、省级、市级和区级比赛奖项多项，指导多名青年教师在区级及以上比赛获得佳绩，在《小学教学（数学版）》、《河南教育》、《辽宁教育》、《中国教师报》等报刊发表教育教学论文50余篇，出版《数学教育教学实践探索》专著一本，主编《给数学教学添一道“味”》著作一本，开设有《教育写作—教师专业成长的另一种修炼》、《教师专业成长的几个关键词》、《中小学一线教师如何做课题》、《把握几个度解读教材》、《教学的“设计”与“呈现”》、《教学需要深度“设计”》、《学校文化的建构与实践》、《学研型教研共同体建设与实践》等专题讲座。

赖允珏

深圳市宝安区海城小学数学老师。获宝安区小学数学青年教师技能大赛特等奖、一等奖第一名，市二等奖。获宝安区小学数学命题比赛一等奖，宝安区小学数学录像课比赛一等奖。每一位学生都有无限可能，永远用欣赏的眼光看学生，永远用宽容的心态面对学生。

责任编辑：曾枢礼、胡红红