发展学生空间观念，培养学生核心素养
——《圆的面积》教学设计
一、课前思考
《数学课程标准》（2022版）指出：空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识。能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描绘的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描绘图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活中的空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。
在学业要求方面，《数学课程标准》（2022版）指出：会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与其直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长和面积，能用相应公式解决简单的实际问题。
在教学提示方面，《数学课程标准》（2022版）指出：圆的教学可以列举生活中的实例，引导学生概括圆的特点，利用圆规画圆，加深对圆的理解。让学生借助操作探究和掌握圆的周长和面积公式，解决实际问题。
人教版教材关于图形与几何的内容安排如下：
《圆的面积》在整个小学数学几何教学中有着特殊的地位和作用，圆是小学阶段唯一的曲线图形,也是小学数学平面几何部分最后一个平面图形。在之前的学习中，学生已经学习过长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，也直观地认识过圆。长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一种跨越和挑战。因为研究曲线图形的思想、方法与直线图形相比，是有变化和提升的。因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还需要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和问题解决的能力，增强空间观念，发展数学思维，提升核心素养。
纵观人教版、苏教版、北师大版、冀教版关于“圆的面积”的编排，大致可以分为两类：一类是直奔主题，直截了当，如北师大版和人教版；另一类是通过估计猜测，推导公式，如苏教版。
1．类型一：直奔主题，直截了当。
人教版教材在编排“圆的面积”教学时，创设了这样一个问题情境：每平方米草皮8元，这个圆形草坪的占地面积是多少平方米？引导学生提问：怎样计算一个圆的面积，引发学生探求圆面积的内在需要。在教学中，教师引导学生想一想能否把圆转化成以前学过的图形，从而推导出圆面积的计算公式。
北师大版在编排“圆的面积”时，直接提问：如何得到一个圆的面积呢？学生以往的经验是数格子，但是由于圆是一个曲线图形，会出现不满整格的现象，这种方法仅能求出一个圆的大约面积，不能迅速准确地求出圆的面积，显然是不方便使用的。基于已有的数学活动经验，学生顺理成章地想到能否把圆转化成以前学过的图形，在这个过程中，强化了学生转化的意识，提升了迁移类推的能力。
2．类型二：估计猜测，推导公式。
苏教版教材在编排“圆的面积”教学时，设置了两个例题，例7是引导学生体会圆的面积与半径的平方之间的关系。在此基础上，例8则是把圆等分成若干份，然后拼成长方形来推导出圆的面积公式。
圆的面积公式推导方法有多种，通过对不同版本的教材对比，不难发现大部分教材都是将分割后的圆拼成近似的长方形，然后通过比较长、宽、圆的半径之间的关系，推导出圆的面积计算公式的。
二、教学设计
（一）教学目标
1．经历操作、观察、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积， 并能应用公式解决相关的简单实际问题。
2．进一步体会“转化”的数学思想方法，感悟极限思想的价值，培养运用己有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思考。
3．体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。
（二）教学重点
圆的面积计算公式的推导和应用。
（三）教学难点
圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。
（四）资源与工具
教具：多媒体课件、面积转化教具、圆形纸片。
学具：书、4等份、8等份、16等份教具、学习单。
（五）教学过程
1．情境引入，积淀空间观念
（播放视频）同学们要比较12寸蛋糕和两个6寸蛋糕的大小，也就是比较他们的什么？（对，面积）这节课我们一起来探究圆的面积。（板书课题：圆的面积）
【设计意图】选取贴近学生生活的实际问题，激发学生的探究积极性。
2．合作交流，建构空间观念
（1）回顾平面图形的面积公式及推导过程，迁移“转化”的思想方法。
①同学们，当我们还不会计算平行四边形的面积时，是用什么方法推导出了平行四边形的面积公式？三角形呢？梯形呢？
②通过回忆之前学过的平面图形面积公式的推导过程，你发现了什么？
预设：三种平面图形都是用“剪”“拼”的方法转化成了学过的图形，进而推导出了面积计算公式
③设疑：你打算用什么方法研究圆的面积呢？
（2）学生动手操作，教师参与指导
（3）作品展示，全班交流
预设1：将圆8等分图。将小组合作完成的图形张贴到黑板上。
（拼成的图形是近似的平行四边形）
预设2：将圆16等分图。将小组合作完成的图形张贴到上一组的下方。
预设3：将圆32等分图。将小组合作完成的图形张贴到黑板上。
（拼成的图形是近似的长方形）
课件展示8等分图、16等分图、32等分图、64等分图，引导学生比较观察，随着将圆等分份数的增多，拼成的图形越来越像长方形。
总结：分的份数越多，拼成的上下两条曲线越来越接近一条直线，左右两条线也在慢慢发生变化。所以越来越接近一个长方形。
（4）想象无限分，渗透“极限”思想。
通过动手操作，把圆转化一个近似的平行四边形，接着，通过观察发现把圆平均分的份数越多拼成的图形越接近长方形，最后通过闭眼想象，把圆进行无限分，就转化成了一个长方形，这样，我们就成功的解决了“化曲为直”的困难。
（5）观察比较，推导面积公式
（课件演示剪拼过程）
①观察转化后的长方形和原来的圆有什么联系？如何利用长方形的面积计算公式推算出圆的面积计算公式的呢？
②小组交流：把讨论的结果记录在研究单上。
③汇报交流。
④PPT演示：重点突破长方形的长与圆的周长的一半，宽与圆的半径的对应关系。
小结：如果用S表示圆的面积，圆的半径为r，那么S=πr²。
【设计意图】通过小组合作，互相启迪，经历将圆转化成近似的长方形的过程。让学生在剪一剪、拼一拼活动中感受化曲为直的妙处，体验极限思想。对比发现剪拼前的圆与剪拼后的近似长方形之间的对应关系，进而发现圆的面积公式。在推导过程中，由学生观察、思考、发现、总结出圆的面积计算公式，提高学生探究数学问题的兴趣。培养学生的创新意识、实践能力，发展学生的空间观念。
3．学以致用，深化空间观念
（1）比较12寸蛋糕和两个6寸蛋糕面积的大小。
（2）基础练习
公园草地上的一个自动喷灌装置的射程是10米，它能喷灌的面积是多少？
（3）拓展练习
有两根长都是6.28m的铁丝，依依用一根围成一个正方形，浩浩用另一根围成一个圆，则两人谁围成的的图形的面积大？
【设计意图】习题设计层层递进，对于知识的掌握由浅入深，并且运用学生熟悉的内容，体验数学来源于生活，应用于生活。兴趣驱动，拓宽学生思路，充分为学生提供广阔的空间。
4．回顾反思
学生畅谈收获，教师强调本节课学习过程中的方法：转化、化曲为直、等积变形。
布置思考：你还能将圆形转化成其他直边图形来推导圆的面积计算公式吗？
【设计意图】带着疑问走出课堂，延伸知识区域。思考是数学的本质特征，而教数学重在教人思考。教数学必须将启发学生思考、发展学生思维作为重要的目标追求。
（六）板书设计
数学文化——神奇割圆术
众所周知，圆周率是一个开头为3.14的无限不循环小数，同学们知道古人是如何得到这个数值的吗？刘徽利用“割圆术”求解了π的数值。尽管现在计算机已经可以将圆周率精准计算到十万亿的位数，也不能停止我们对古人的敬仰。
