2005江西高考数学题及答案
2005年江西高考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 则
（A） （B） （C） （D）
2．设复数 若 为实数,则
（A） （B） （C） （D）
3．“ ”是“直线 与圆 相切”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
4． 的展开式中,含 的正整数次幂的项共有
（A）4项 （B）3项 （C）2项 （D）1项
5．设函数 ,则 为
（A）周期函数,最小正周期为 （B）周期函数,最小正周期为
（C）周期函数,最小正周期为 （D）非周期函数
6．已知向量 ,若 ,则 与 的夹角为
（A） （B） （C） （D）
7．已知函数 的图象如右图所示
（其中 是函数 的导函数）.下
面四个图象中 的图象大致是
8．若 ,则
（A） （B） （C） （D）
9．矩形ABCD中, ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 ,则四面体ABCD的外接球的体积为
（A） （B） （C） （D）
10．已知实数 满足等式 ,下列五个关系式
① ② ③ ④ ⑤
其中不可能成立的关系式有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
11．在 中,O为坐标原点, ,则当 的面积达到最大值时,
（A） （B） （C） （D）
12．将 这 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：本大题共的小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上.
13．若函数 是奇函数,则
14．设实数 满足 ,则 的最大值是＿＿＿＿＿
15．如图,在直三棱柱 中,
分别为 的中点,沿棱柱的表面从
E到F两点的最短路径的长度为＿＿＿＿＿＿
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点, 为非零常数,若 ,则点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若 ,则动点P的轨迹为椭圆；
③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 与椭圆 有相同的焦点.
其中真命题的序号为＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）.
三．解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数 为常数）,且方程 有两个实根为
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ,解关于 的不等式：
18．（本小题满分12分）
已知向量 ,令
是否存在实数 ,使 （其中 是 的导函数）？若存在,则求
出 的值；若不存在,则证明之.
19．（本小题满分12分）
A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢
得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达到9次时,或在此前某人已赢
得所有卡片时游戏终止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求 的取值范围；
（2）求 的数学期望
20．（本小题满分12分）
如图,在长方体 中, ,点E在棱AB上移动.
（1）证明： ；
（2）当EAB的中点时,求点E到面 的距离；
（3）AE等于何值时,二面角 的大小为 .
21．（本小题满分12分）
已知数列 的各项都是正数,且满足：
（1）证明
（2）求数列 的通项公式
22．（本小题满分14分）
如图,设抛物线 的焦点为F,动点P
在直线 上运动,过P作抛物线
C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切
于A、B两点
（1）求 的重心G的轨迹方程；
（2）证明
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空题
13． 14． 15． 16．③④
三、解答题
17．解：（1）将 得
（2）不等式即为
即
①当
②当
③ .
18．解：
19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则 ，可得：
（2）
20．解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1= ，AD1= ，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而 ，
，设平面ACD1的法向量为 ，则
也即 ，得 ，从而 ，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量 ，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴ （不合，舍去）， .
∴AE= 时，二面角D1—EC—D的大小为 .
21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
22．解：（1）设切点A、B坐标分别为 ，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，
所以 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
（2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当 所以P点坐标为 ，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当 时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离 ，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
