2010年高考湖南卷理科数学全解全析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]
1．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 故选C.
【命题意图】本题考查集合的交集与子集的运算,属容易题.[来源:学#科#网]
2．下列命题中的假命题是
A． ， B． ， [
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】对于B选项x＝1时， ，故选B.
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A．10 B.11 C.12 D.15
【答案】B
【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有
【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡对应题号后的横线上。
P
T
O
A
B
图19.已知 一种材料的最佳加入量在110g到210 g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是_____________g.
【答案】171.8或148.2
【解析 】根据0.618法，第一次试点加入量为
110＋（210－110） 0.618＝171.8
或 210－（210－110） 0.618＝148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。
10.如图1所示，过 外一点P作一条直线与 交于A，B两点，已知PA＝2，点P到 的切线长PT ＝4，则弦AB的长为________.
【答案】6
【解析】根据切线长 定理
所以
【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。
11.在区间 上随机取一个数x，则 ≤1的概率为________.
【答案】
【解析】P（ ≤1）＝
【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。
【解析】抛物线的焦点坐标为F（0， ），则过焦点斜率为1的直线方程为 ，
设A （ ），由题意可知
由 ，消去y得 ，
由韦达定理得，
所以梯形ABCD的面积为：
所以
【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能力,属中档题
15．若数列 满足：对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为 ，则得到一个新数列 ．例如，若数列 是 ，则数列 是 ．已知对任意的 ， ，则 ，
．
【答案】2，
【解析】因为 ，而 ，所以m=1,2,所以 2.
所以 ＝1, ＝4， ＝9， ＝16，
猜想
【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为EX＝3 ＝0.3
【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。属中档题
18．（本小题满 分12分）
如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD 1的中点。
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。
A D
B C
A1 D1
B1 C1
E
图5
【解析】
所以 ，取 n .
设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）(0≤t≤1)，又B1（1，0，1），所以
n
这说明在在棱C1D1上是否存在一点F（ ），使B1F//平面A1BE
解法2 如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM//AD。
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中。AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝ ，于是
在RT△BEM中，
19．（本小题满 分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直 平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过 km的区域；在直线 的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过 km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段 ， 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
冰
O
化 区 域
融
已
川
B(4,0)
P3(8,6)
图6
A(-4,0)
x
y
x=2
【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为 .当 ≥2时，由题意知
当
，因而其方程为
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。
20．（本小题满 分13分）
已知函数
（Ⅰ）证明：当
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b,c，不等式 恒成立，求M的最小值。
（Ⅱ）是否存在
【 解析】易知
令
(1)
故 在
（2）
（3）
2010年高考湖南卷理科数学全解全析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]
1．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 故选C.
【命题意图】本题考查集合的交集与子集的运算,属容易题.[来源:学#科#网]
2．下列命题中的假命题是
A． ， B． ， [
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】对于B选项x＝1时， ，故选B.
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A．10 B.11 C.12 D.15
【答案】B
【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有
【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡对应题号后的横线上。
P
T
O
A
B
图19.已知 一种材料的最佳加入量在110g到210 g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是_____________g.
【答案】171.8或148.2
【解析 】根据0.618法，第一次试点加入量为
110＋（210－110） 0.618＝171.8
或 210－（210－110） 0.618＝148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。
10.如图1所示，过 外一点P作一条直线与 交于A，B两点，已知PA＝2，点P到 的切线长PT ＝4，则弦AB的长为________.
【答案】6
【解析】根据切线长 定理
所以
【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。
11.在区间 上随机取一个数x，则 ≤1的概率为________.
【答案】
【解析】P（ ≤1）＝
【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。
【解析】抛物线的焦点坐标为F（0， ），则过焦点斜率为1的直线方程为 ，
设A （ ），由题意可知
由 ，消去y得 ，
由韦达定理得，
所以梯形ABCD的面积为：
所以
【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察考生的运算能力,属中档题
15．若数列 满足：对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为 ，则得到一个新数列 ．例如，若数列 是 ，则数列 是 ．已知对任意的 ， ，则 ，
．
【答案】2，
【解析】因为 ，而 ，所以m=1,2,所以 2.
所以 ＝1, ＝4， ＝9， ＝16，
猜想
【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为EX＝3 ＝0.3
【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。属中档题
18．（本小题满 分12分）
如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD 1的中点。
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论。
A D
B C
A1 D1
B1 C1
E
图5
【解析】
所以 ，取 n .
设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）(0≤t≤1)，又B1（1，0，1），所以
n
这说明在在棱C1D1上是否存在一点F（ ），使B1F//平面A1BE
解法2 如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM//AD。
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中。AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝ ，于是
在RT△BEM中，
19．（本小题满 分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直 平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过 km的区域；在直线 的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过 km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段 ， 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
冰
O
化 区 域
融
已
川
B(4,0)
P3(8,6)
图6
A(-4,0)
x
y
x=2
【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为 .当 ≥2时，由题意知
当
，因而其方程为
故考察区域边界曲线（如图）的方程为
（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为
【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。
20．（本小题满 分13分）
已知函数
（Ⅰ）证明：当
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b,c，不等式 恒成立，求M的最小值。
（Ⅱ）是否存在
【 解析】易知
令
(1)
故 在
（2）
（3）
